МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА" ЧИСЛОВЕ ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ Методичні вказівки до лабораторної роботи № 4 з курсу "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем" для студентів базових напрямів 6.170101 "Безпека інформаційних і комунікаційних систем", 6.170102 "Системи технічного захисту інформації", 6.170103 "Управління інформаційною безпекою" Затверджено на засіданні кафедри «Безпека інформаційних технологій» Протокол № 12 від 12.05.2011р. Львів – 2011 Чисельне інтегрування функцій однієї змінної: Методичні вказівки до лабораторної роботи №4 з курсу "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем" для студентів базових напрямів 6.170101 "Безпека інформаційних і комунікаційних систем", 6.170102 "Системи технічного захисту інформації", 6.170103 "Управління інформаційною безпекою" /Укл.: Л.В. Мороз, А.Я. Горпенюк, Н.М. Лужецька - Львів: Видавництво НУ“ЛП”, 2011.- 14 с. Укладачі: Л.В. Мороз, к.т.н., доц. А.Я. Горпенюк, к.т.н., доц. Н.М. Лужецька, асист. Відповідальний за випуск: В.М. Максимович, д.т.н., проф. Рецензент: В.В. Хома, д.т.н., проф. А.Е. Лагун, к.т.н., доц., Мета роботи – ознайомлення з методами наближеного обчислення означених інтегралів. Чисельне інтегрування функцій однієї змінної Нехай задана деяка функція
на відрізку
. Розглянемо задачу обчислення її означеного інтеграла
. Якщо для
відома первісна
, то інтеграл обчислюється за формулою Ньютона - Лейбніца
(1) Однак для великого класу функцій
не можна виразити через елементарні функції, тому означений інтеграл не можна обчислити за допомогою формули Ньютона - Лейбніца. Бувають також випадки, коли підінтегральна функція задається таблично. Тоді використовують формули наближеного інтегрування, які називають квадратурними. Сам процес чисельного визначення інтегралу називають квадратурою. Ідея чисельних методів інтегрування в наступному. Означений інтеграл

можна трактувати як площу фігури (Рис.1), обмеженої ординатами a і b , віссю абсцис
і графіком підінтегральної функції
(криволінійною трапецією). Рис. 1
Рис. 2 При наближеному обчисленні криволінійну трапецію заміняють фігурою, обмеженою тим самим відрізком
, площа якої обчислюється значно простіше. Найбільш прості формули чисельного інтегрування - формули прямокутників та трапецій. Розглянемо метод прямокутників. Відрізок
розбивають на
відрізків
, де i=
. На кожному з відрізків
площа криволінійної трапеції заміняється площею прямокутника з основою
та висотою
. Тоді
(2) Якщо відрізки
рівновеликі :

(3) Формулу (3) називають також формулою «середніх» прямокутників. Якщо за висоту прямокутника взяти
або
, то можна одержати формули «лівих» та, відповідно, «правих» прямокутників. Формула лівих прямокутників :
. Формула правих прямокутників :
. Похибка методу прямокутників ( гранична абсолютна похибка, похибка квадратурної формули (3) ):
(4) де
, x([a;b] . Вираз (4) для похибки показує, що формула (3) є точною для будь-якої лінійної функції, оскільки друга похідна такої функції дорівнює нулю, а отже похибка теж дорівнює нулю.
Рис. 3 Метод трапецій Розіб’ємо відрізок інтегрування
на n рівних частин, довжиною
. На кожній такій частині дуга кривої
заміняється стягуючою її хордою. В точках розбиття проведемо ординати до перетину з кривою
. Кінці ординат з’єднаємо прямолінійними відрізками. Тоді можна замінити кожну з одержаних криволінійних трапецій прямолінійною (Рис.3). Площа криволінійної трапеції
наближено дорівнює сумі площ прямолінійних трапецій. Площа лівої трапеції
Відповідно для трапеції, розміщеної над ділянкою
знайдемо:
(5) Звідси

(6) Або
(7) Похибка методу Гранична абсолютна похибка методу трапецій знаходиться за формулою:
(8)
,
,
. Співставляючи формули (8) та (4) бачимо, що похибка формули середніх прямокутників ( в 2 рази менша, ніж похибка формули трапецій. Метод Сімпсона Цей мето...